棱柱体积公式 不规则棱柱体积公式

棱体体积公式

棱锥体积公式为：V=1/3Sh，S为棱锥的底面积，h是高。

V=Sh(S为底面积）

棱柱体积公式 不规则棱柱体积公式

棱柱体积公式 不规则棱柱体积公式

棱柱体积公式 不规则棱柱体积公式

不懂可以追问奥，呵呵，包你满意

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不同的棱柱体都是先求底面积

因为

V=Sh

S为棱柱体的底面积

原理同圆柱体的体积公式

原创

斜棱柱侧面积请∴VA-BCD=VB-ACD=VE-ACD=VA-CDE给分

棱锥的体积公式是什么？

圆台：扇环（当梯形面积算）

定义：是指有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥体。

∵VABC-ABC=VEBC-EBC=1/2d·a·l

分类：棱锥按照侧面的个数（等于底面的边数）可分为“三棱锥”、“四棱锥”、“五棱锥”等。三棱锥又称为“四面体”。

特征：棱锥的基本特征是有一个面是一个多边形，而另外一个其他的面则是一个具有公共顶点的三角形，这两个本质缺一不可。

以上内旋转体：只需要知道侧面展开是什么就可以，也不需要记公式容参考

直棱柱的体积公式

三角形面积计算公式：:字母公式：S=（2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则（1/2）ah，文字公式：面积=底乘高除以2。

直棱柱的体连结MO并延长交⊙O于D，MD为小圆直径，连结CD积公式是底面积X高。

直棱柱因为其性质的特殊性，上下底面皆相同，所以体积都可以用“底面积X高”这一公式来统一计算。直棱柱中最为典型的为直四棱柱，也就是我们日常口中的长方体和正方体，无论是长方体还是正方体，它们都有12条棱，8个角，6个面，两者的体积计算都可以用同一顶点相连的三条棱长相乘来计算。它们不同的是，长方体是对面相等，对边相等，正方体则是每个面相等，每条边也都相等。

怎么求棱柱体积

【分析】直接求三棱锥P-ABC的体积比较困难，考虑到DE是对棱PA和BC的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC和A-EBC，利用PA⊥截面EBC，且△EBC的面积易求，从而体积可求。

求斜棱柱的体积：

【评注】本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面△EBC，而高的和恰为PA，因而计算机简便，当然也可连PD、AD，用△PDA作为公共的底，把BC作为高。

在求斜棱柱的体积时，最常用的方法是用棱柱的底面积乘以棱柱的高来求得，而在引入了直截面的概念之后，利用直截面面积与侧棱长之积来求斜棱柱的体积，在某些时候显得更为简便。

例：如上例中，若改求该斜三棱柱的体积，就可先求得直截面△BMC的面积，然后利用直截面面积与侧棱长的乘积来求得体积。

特别地，对于斜三棱柱来说，我们还可以利用该斜三棱柱的一个侧面的面积S与它所对应的侧棱到它的距离d的乘积的一半来求其体积，即用公式： V三棱柱= 1/2 Sd表示，公式证明如下：

作出斜三棱柱ABC- ABC的直截面△EBC，沿直截面切下，如图安置，则斜三棱柱ABC-ABC与直三棱柱EBC-EBC的体积相等，设△EBC中BC=a，BC边上的高为d，侧棱长为l，则

S矩形BCCB=a·l

∴VABC-ABC=1/2sd

例：斜三棱柱的一个侧面的面积等于10c㎡，该侧面与其所对的侧棱间的距离为6㎝，则该三棱柱的体积为30 c㎡（V= 1/2 ×10×6=30 c㎡）

（1）割补法：

例1：如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA.BC的公垂线DE=h，求三棱锥P-ABC的体积。

【详解】连结BE、CE

∵DE为PA、BC的公垂线

∴PA⊥DE 又PA⊥BC，DE∩BC=D

从而PA⊥平面EBC

VP-ABC=VP-EBC+VA-EBC

=1/3S△EBC·PE+1/3S△EBC· AE

=1/3S△EBC（PE+AE）

=1/3PA·S△EBC =1/6 lh

例2：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的 体积与原正方体体积之比

【分析】可直接求剩余部分的面积，利用底面积与高的乘积的1/3，但比较麻烦。可间接来求，利用原正方体体积扣除截去的四个全等的三棱锥的体积求得。

【略解】∵V截1=1/3·1/2·a·a=1/6a

V剩余=a-4·1/6·a=1/3a

∴VA-BCD：V正方体=1：3

例：如图，已知AC和CD分别是两平行平面α和β内的异面线段，AB=a，CD=b，它们所成的角为θ，平面α、β间的距离为h.

求证:不论AB、CD 在α、β内作怎样的平行移动，三棱锥A-BCD的体积不变，并用a、b、h和θ表示该体积。

【分析】由已知条件难以直接表示这个体积，注意到α∥β，可在β内作出与AB平行且相等的线段CE，构造一个新的四面体A-CDE，只要能证得VA-BCD =VA-CDE，则问题可解。

【详解】过AB、AC作平面γ交β于CE，在CE上取点E，使CE=AB

∵α∥β，γ∩α=AB，γ∩β=CE

∴AB∥CE，又AB=CE

故四边形ACEB为平行四边形

△ECD中，AB∥CE，从而∠ECD=θ

AB=CE= a，CD=b，

故S△ECD =1/2absinθ

又A到β的距离为h

∴VA-BCD=VA-CDE=1/6abhsinθ

【评注】在三棱锥的等体积变换过程中，常用的一种方法是变换顶点和底面的位置，以达到解题目的。另外须注意的是正确的作图是“过AB、AC作平面γ交β于CE，”，而不是“过C作CE平行且等于 AB”，因后者尚须证明“CE在β内”。

3、棱柱中棱锥体积的求法：

棱柱中棱锥体积的求解，往往采用割补法或等积法，有时甚至两者结合运用。

【分析】先考虑能否直接求出棱锥的高和底面积，由于AC∥EF，即AC∥平面EBFD，所以要求此棱锥的高，即求异面直线AC与BD的距离，有一定难度，故再考虑改为用立体图形的分解、组合和等积转换等方法。

【详解】四棱锥A-EBFD的底面是菱形，连结EF，则△EFB≌△EFD

∵三棱锥A-EFB与三棱锥A-EFD等底同高

∴VA-EFB=VA-EFD

VA-EBFD=2VA-EFB=2VF-EBA

=2·1/3S△EBA·a=1/6a

【评注】此解法把棱柱分割成两个等积的三棱锥，从而转化为求三棱锥的体积，进而又利用三棱锥可换底求解（等积）的灵活性，作进一步转化。

例2：如图，已知直三棱柱ABC-ABC的侧棱和底面边长都为a，截面ABC和截面ABC相交于DE，求三棱锥B-BDE的体积。

【详解】（！）可采用分割法

取BB中点M，连结DM、EM

由于为直棱柱故有BB⊥平面DME

VB-BDE=VB-DME+VB-DME

=1/3S△DME·BM

+1/3 S△DME·BM

=1/3 S△DME（BM+BM）

=1/3 S△DME·BB

=1/3（1/2·a/2·3/4a）a

=3/48a

（2）可采用等积法

取BC中点F，连结BF、AF，则AF⊥平面BBC，取BF中点O，连结DO，则DO∥AF，故DO⊥平面BBC，

且DO=1/2·3/2a=3/4a

VB-BDE=VD-BBE

=1/3·1/4a·3/4a=3/48a

【评注】另外，本题还可利用三棱锥B-BDE与三棱锥B-ABC之体积之比为△BDE与△BAC之面积比，而三棱锥B-ABC的体积利用等积法与三棱锥B-ABC体积相等来求得

4、有内切球与外接球的三棱柱问题：

例1 ：如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球体积。

【分析】正如三角形的内切圆半径常常与面积发生联系一样，三棱锥的内切球半径常常和体积发生联系，本题中，可以球心为顶点，四个全等的侧面为底面，把原棱锥分割成四个小棱锥，由等体积关系可求出内切球半径，进而求出体积。

【详解】取CD中点E，连结AE、BE

∵BC=BD，∴CD⊥BE 又AE∩BE=E

故CD⊥平面ABE

VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE

=1/3S△ABE·CE+1/3S△ABE·DE

=1/3 S△ABE·（CE+DE）

=1/3 S△ABE·CD=6 7

由于各侧面全等，面积均为12，设内切球半径为r，则

+S△DAB）·r

=1/3·48 r =16 r =6 7

故r =3 7/8

因此V球=4/3 πr =(63 7/128)π

【评注】多面体如果有一个内切球，球半径为R，多面体n个面的面积分别为S，S，…S，把球心与多面体的顶点连结起来，就把多面体分割成n个以表面为底面，R为高的小棱锥，设多面体体积为V，则有V=1/3R（S+S+…+S），据此可求得球的半径，进而求得球的体积。

例2：如图,正三棱锥P-ABC的高为1，底面边长为2 6，内有一个球与四个面均相切，求棱锥的全面积和球的面积。

【详解】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE，由于△ABC为正三角形，故AE既是△ABC底边上的高，又是BC边上的中线，作正三棱锥的高PD，则PD过球心O，且D为△ABC的中心。

（1）∵正三角形ABC边长为2 6

∴DE=1/3·AE=1/3·3/2·2 6

故PE=3

∴S全=S侧+S底

=3·1/2·2 6·3+3/4·(2 6)

V+V+V+V=1/3r·S全=1/3h·S△ABC

故r= (S△ABC·h)/ S全= 6-2

∴S球=4πr=4π(6-2)

例3：如图,求半径为R的球O的内接正三棱锥P-ABC的体积的值。

【详解】设OO=h,底面边长为a

AO=(R-h)=a/ 3,则a=3(R-h)

PO=R+h

故V=1/3 S△ABC·PO

=1/3·3/4·3(R-h)(R+h)

≤〔3/(4·2)〕(R+h)(R+h)(2R-2h)

≤3/8(4R/3)=8 3/27R

(当且仅当R+h=2(R-h)即h=R/3时等号成立)

∴Vmax=(8 3/27)R

例4：如图,过半径为R的球面上的一点M作三条两垂直的弦MA、MB、MC

(1)求证：MA +MB+ MC为定值

(2)求三棱锥M-ABC体积VA-BCD=1/3（S△ABC+ S△BCD+ S△CDA的值

【分析】由MA⊥MB可知,过M、A、B三点的平面截球面得一小圆O，而AB是圆O的直径,设球心为O，连结OO，则OO⊥小圆面AMB，所以OO∥MC。由OO和MC确定的平面截球面就得到球的大圆O，M、D为两圆交点，MD为小圆直径，CD为大圆直径，故MA +MB+ MC=AB+MC=MD+MC=4R

【详解】（1）设MA、MB确定的平面截球面得到小圆O

∵MA⊥MB ∴AB为⊙O直径

∵MC⊥MA，MC⊥MB，MA∩MB=M

∴MC⊥小圆面AMB，而MC在平面MCD内

∴平面MCD⊥平面MAB

连结OO，则OO⊥小圆面MAB，故过M、C、D的圆是球的大圆

又MC⊥MD，于是CD过球心O，即CD为球O的直径

∴CD= MD+MC=MA +MB+ MC=4R

（2）V=（1/6MA·MB·MC）

=1/36·MA·MB·MC

≤ 1/36〔（MA+MB+MC）/3〕

=1/36（4R/3）

∴Vmax=4/27·3R

【评注】事实上，三棱锥M-ABC是球的内接长方体的一个“角”，故本题也可以用“构造法”，通过构造以MA、MB、MC为三条棱的长方体来求解，这个长方体的对角线就是球的直径，长方体的体积时，就成为球的内接正方体。

以上就是学习棱柱、棱锥的一些技巧及其归类运用。相信学生在已有的空间直线和平面知识的基础上，对这部分内容若加以了比较学习，并能注意对其应用加以归类总结，一定能起到事半功倍的效果。

柱体、锥体、台体、球体的所有公式

V==9 2+6 31/（2）等积法ir2h

棱柱表面积A=LH+2S,体积V=SH (L--底面周长,H--柱高,S--底面面积) 圆柱表面积A=LH+2S=2πRH+2πR^2,体积V=SH=πR^2H (L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径) 球体表面积A=4πR^2,体积V=4/3πR^3 (R-球体半径) 圆锥表面积A=1/2sL+πR^2,体积V=1/3SH=1/3πR^2H (s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高) 棱锥表面积A=1/2sL+S,体积V=1/3SH (s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)

棱柱，棱锥的体积，面积公式

（长×宽+长×高＋宽×高）×2

你好！！！

【注】该公式的另一种证法是在原斜三棱柱的基础上接上一个和它完全一样的斜三棱柱,从而组成一平行六面体,利用转换底面的方法求得该平行六面体的体积，于是原斜三棱柱的体积是它的体积的一半。

柱体体积V=Sh

台体V=1/3(S+S'+JSS')h

椎体V=1/3Sh

多面体：所有面面积总和（不需要记公式）

圆拄：侧面是矩形

圆例1：如图，已知正方体AC的棱长为a，E、F分别为棱AA与CC的中点，求四棱锥A-EBFD的体积。锥：扇形（当三角形面积来算~）

球：

V=4/aiR^3

S=4paiR^2

注意S--底面积

pai=3.1415....

R表示半径

h表示高

整理一下棱柱，棱锥，球体的表面积，体积公式

斜棱柱体积

S=ch

∵AC=AD，∴CD⊥AE

S=c'h

正棱锥侧面积

S=1/2ch'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pir2

圆柱侧面积

S=ch=2pih

圆锥2、三棱锥体积的几种方法：侧面积

S=1/2cl=pirl

弧长公式

l=ar

a是圆心角的弧度数r

>0

s=1/2lr

锥体体积公式

V=1/3SH

圆锥体体积公式

V=S'L

注：其中,S'是直截面面积，

柱体体积公式

V=sh

圆柱体

V=pir2h

长方体的表面积=

长方体的体积

=长×宽×高

正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

圆柱的体积=底面积×高

圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体（正方体、圆柱体）

的体积=底面积×高

三棱柱的体积公式是什么？

=2

首先三角形是没有体积的，所以也就不会有体积公式，但是三角形有面积计算公式，三棱柱，或者是三棱锥是有体积计算公式。

三棱柱体积计算公式：字母公式：V=SH，文字公式：体积＝底面积乘高。

三棱锥体积计算公式：字母公式：V=Sh/3，文字公式：体积=底乘高除以3。

扩展资面积：料：

三棱柱：

1、直三棱柱：是各个侧面的高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。上下表面三角形可以是任意三角形。正三棱柱是直三棱柱的特殊情况，即上下面是正三角形。

2、正三棱柱：三条侧棱皆平行，上表面和下表面是平行且全等的正三棱柱中两个互相平行的面就是棱柱的底面，棱柱的两个底面的距离叫做棱柱的高。角形。正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱。

特别注意：底面为正多边形，侧棱垂直于底面，但是侧棱和底面边长不一定相等。

所以说，直三棱柱是很特殊的棱柱，正因为特殊所以是数学上性质比较好研究的。类似于正方形是最特殊的四边形一样。右边的图非常直观，就是高中数学课本上最常见的直三棱柱。

直棱柱的体积公式

L扇形面积公式是侧棱长

直棱柱的体积公式=直棱柱底面积直棱柱侧面积直棱柱的高。

棱柱就是三维多面体，它的上下底面平行且全等，侧棱相互平行且相等。若棱柱的底面有多少边，棱柱就有多少棱柱。